Основы логики. Логические операции.
В математической логике операцией называется логическая связь между двумя высказываниями. Высказывание – это некое суждение, которое, как правило, может быть либо истинным, либо ложным. При этом ложью считается логический ноль (0), а истиной – логическая единица (1).
В алгебре логики существует пять основных операций: конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция и отрицание. Рассмотрим каждую из них.
Конъюнкция
Конъюнкция – это логическое умножение. Также принято называть её логическим «И». Обычно записывается в виде символов:
&, *, ˄
Приведем пример.
Чтобы поступить в вуз, нужно сдать ЕГЭ по русскому языку и математике. В данном случае, «сдать русский язык» и «сдать математику» - логические высказывания, а поступление в вуз – результат выражения. Обозначим высказывание «сдать русский язык» переменной А, высказывание «сдать математику» переменной Б, а результат выражения (т. е. поступление в вуз) переменной F:
A ˄ B = F
Таблица истинности для этого выражения будет выглядеть так:
A | B | F |
0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 |
То есть, чтобы результат (поступление) был истинный (равен 1), обе переменные, связанные логическим умножением, должны быть истинны. Проще говоря, если вы, к примеру, сдадите математику, но завалите русский, вы никуда не поступите (результатом будет ложь).
Таким образом, конъюнкция истинна только в одном случае – когда обе переменные истинны.
Дизъюнкция
Дизъюнкция – это логическое сложение. Также принято называть её логическим «ИЛИ». Записывается в виде символов:
|, +, ˅
Приведем пример.
Чтобы поймать рыбу, рыбаку нужна перловка ИЛИ хлеб. В этом случае «есть перловка» и «есть хлеб» - логические высказывания, а результатом выражения может быть пойманная рыба. Обозначим высказывание «есть перловка» переменной А, а высказывание «есть хлеб» переменной B. Результат выражения – «рыба поймана» - переменной F.
А ˅ B = F
Таблица истинности для этого выражения будет выглядеть так:
A | B | F |
0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 1 |
Проще говоря, чтобы результат («рыба поймана») был истинный, рыбак может взять с собой или перловку, или хлеб, или и то, и другое. Но если он забудет взять наживку – рыбу он не поймает, то есть результатом выражения будет ложь.
Таким образом, конъюнкция ложна только в одном случае – когда обе переменные ложны.
Импликация
Импликация – это логическое следование. Импликацию можно сравнить с о связкой «если...то». Записывается в виде горизонтальной стрелки, направленной вправо (→).
Импликацию можно обозначить как связь начальника и исполнителя. Приведём пример.
Предположим, учитель задал ученику задание. В этом случае «учитель задал» и «ученик сделал» - высказывания, а оценка будет являться результатом выражения. Обозначим высказывание «учитель задал» переменной A, высказывание «ученик сделал» - переменной B, а результат выражения (оценку) – переменной F.
A → B = F
Таблица истинности для этого выражения выглядит так:
A | B | F |
0 | 0 | 1 |
0 | 1 | 1 |
1 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 |
Если учитель ничего не задал, и ученик ничего не сделал – учитель двойку не поставит. Если учитель не задал, а ученик сделал – двойки также не будет. Если учитель задал, и ученик выполнил – оценка будет положительной. Но если учитель задал, а ученик не сделал – оценка будет отрицательной.
Проще говоря, импликация ложна только в одном случае: если первое выражение истинно, а второе – ложно.
Эквиваленция
Эквиваленция – это логическое равенство (тождество) Обозначается «тройным» знаком равенства (≡). Результатом эквиваленции может быть истина только в том случае, если оба выражения, связанные эквиваленцией, равнозначны (эквивалентны).
Таблица истинности для выражения A≡B выглядит так:
A | B | F |
0 | 0 | 1 |
0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 |
Инверсия
Инверсия – это логическое отрицание. Её также называют логическим «НЕ». Записывается в виде символов:
!, ¬,
а также верхним подчеркиванием переменной.
Инверсия меняет значение переменной на противоположное, то есть:
A | ¬A |
0 | 1 |
1 | 0 |
Нет комментариев. Ваш будет первым!