Тип заданий 26 - ЕГЭ по информатике 2016

Два игрока, Петя и Ваня, играют в игру. Перед ними лежит куча камней. Игроки ходят по очереди. Первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень, три камня, или увеличить количество камней в куче в два раза. Для того, чтобы сделать ход, у игроков имеется неограниченное количество камней.

Игра завершается, когда количество камней в куче превышает 46. Победителем становится игрок, сделавший последний ход, и получивший в куче 46 или более камней. В начальный момент в куче было S камней, 1≤ S ≤ 45.

Последовательно решите следующие задания:

1. При каких S: а) Петя выигрывает первым ходом; б) Ваня выигрывает первым ходом при любой игре Пети.
2. Назовите три значения S, при которых Петя может выиграть своим вторым ходом при любой игре Вани.
3. Назовите такое значение S, при котором Ваня может выиграть своим первым или вторым ходом при любой игре Пети.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, пусть в одной куче 10 камней, а в другой 7 камней; такую позицию в игре будем обозначать (10, 7). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: (11, 7), (20, 7), (10, 8), (10, 14). Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 73. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, что в кучах всего будет 73 камня или больше.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока – значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. Например, при начальных позициях (6, 34), (7, 33), (9, 32) выигрышная стратегия есть у Пети. Чтобы выиграть, ему достаточно удвоить количество камней во второй куче.

Задание 1. Для каждой из начальных позиций (6, 33), (8, 32) укажите, кто из игроков имеет выигрышную стратегию. В каждом случае опишите выигрышную стратегию; объясните, почему эта стратегия ведёт к выигрышу, и укажите, какое наибольшее количество ходов может потребоваться победителю для выигрыша при этой стратегии.

Задание 2. Для каждой из начальных позиций (6, 32), (7, 32), (8, 31) укажите, кто из игроков имеет выигрышную стратегию. В каждом случае опишите выигрышную стратегию; объясните, почему эта стратегия ведёт к выигрышу, и укажите, какое наибольшее количество ходов может потребоваться победителю для выигрыша при этой стратегии.

Задание 3. Для начальной позиции (7, 31) укажите, кто из игроков имеет выигрышную стратегию. Опишите выигрышную стратегию; объясните, почему эта стратегия ведёт к выигрышу, и укажите, какое наибольшее количество ходов может потребоваться победителю для выигрыша при этой стратегии. Постройте дерево всех партий, возможных при указанной Вами выигрышной стратегии. Представьте дерево в виде рисунка или таблицы.

Источник: демоверсия ФИПИ по информатике и ИКТ 2016-го года.

В решении задания есть видеоразбор